漸化式

二項間漸化式

等比型・等差型

　次のように定義された数列 \( \{ a_n \} \) の一般項を求めよ。

1. \( a_1 = 1,　a_{n+1} = 2a_n – 3 \)
2. \( a_1 = 1,　a_{n+1} = a_n + 3 \)

分数型

　次のように定義される数列 \( \{ a_n \} \) の一般項を求めよ。

1. \( a_1 = 1,　a_{n+1} = \displaystyle\frac{a_n}{2a_n + 3} （ n = 1，2，3，\cdots ）\)
2. \( a_1 = 0,　a_{n+1} = \displaystyle\frac{3a_n + 2}{a_n + 2} （ n = 1，2，3，\cdots ）\)

その他

　次のように定義される数列 \( \{ a_n \} \) の一般項を求めよ。

1. \( a_1 = 10,　a_{n+1} = 2\sqrt{a_n} \)
2. \( a_1 = 1,　a_{n+1} = 3a_n + 2^{n-1} \)

その他

　\( \displaystyle a_1 = a，a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n+2} （ n = 1，2，3，\cdots ）\) によって定まる数列がある。

• \( a_2，a_3，a_4 \) を求めよ。
• 一般項 \( a_n \) を求めよ。

\section{指数型}

次にように定義される数列{$a_n$}の一般項を求めよ。
\begin{enumerate}
\item $a_1=1，a_{n+1}=3a_n+2^{n-1}（n=1，2，3\cdots）$
\item $a_1=1，a_2=4，a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n（n=1，2，3\cdots）$
\end{enumerate}

\section{1次式}

漸化式$a_1=1，a_{n+1}=3a_n+n（n=1，2，3\cdots）$で定義される数列{$a_n$}の一般項を求めよ。

\section{2次式}

次にように定義される数列{${a_n}$}の一般項を求めよ。
[ a_1=1，a_{n+1}=3a_n +2n^2-2n+1 （n=1，2，3\cdots）]

\section{1}

$a_1=1，2(n+1)a_{n+1}=na_n+(-1)^{n+1}（n=1，2，3\cdots）$で定義される数列${a_n}$の一般項を求めよ。

\section{2}

$a_1=15，a_n=2a_{n-1}+4^n-1（n=1，2，3\cdots）$で与えられる数列${a_n}$の一般項を求めよ。

\section{連立漸化式}

次の関係式で定まる2つの数列${a_n}$，${b_n}$がある。
[ a_1=b_1=1，a_{n+1}=a_n+b_n，b_{n+1}=4a_n+b_n（n=1，2，3\cdots）]
数列${a_n+kb_n}$が等比数列となるような定数$k$の値を定め、数列${a_n}$，${b_n}$の一般項を求めよ。

\section{連立漸化式}

数列${a_n}$，${b_n}$を、
[ x_1=1，y_1=-1，x_{n+1}=5x_n-2y_n，y_{n+1}=x_n+2y_n（n=1，2，3\cdots）]
によって定める。
\begin{enumerate}
\item 数列${x_n-2y_n}$の一般項を求めよ。
\item 数列${x_n}$の一般項を求めよ。
\item 和$\displaystyle\sum_{k=1}^ny_n$を求めよ。
\end{enumerate}

三項間漸化式

　次のように定義された数列 \( \{ a_n \} \) の一般項を求めよ。

1. \( a_1 = 1,　a_2 = 2,　5a_{n+2} = 6a_{n+1} – a_n (n = 1, 2, 3, \cdots) \) で定める数列 \( \{ a_n \} \) の一般項を求めよ。
2. \( a_1 = 1,　a_2 = 4,　a_{n+2} = 4a_{n+1} – 4a_n (n = 1, 2, 3, \cdots) \) で定める数列 \( \{ a_n \} \) の一般項を求めよ。
3. \( a_1 = 1，a_2 = 2，a_{n+2} – a_{n+1} – 6a_n = 0 \)
4. \( a_1 = 1，a_2 = 2，2a_{n+2} – 3a_{n+1} + a_n = 0 \)

連立漸化式

問題

　次のように定義された数列 \( \{ a_n \} \) の一般項を求めよ。

\[ a_1 = 1，b_1 = 3，a_{n+1} = 2a_n + b_n，b_{n+1} = a_n+2b_n \]