問題１
整数 \( a_n = 19^n + ( -1 )^{n-1}2^{4n-3} ( n = 1，2，3，\cdots )\) のすべてを割り切る素数を求めよ。
問題
数列 \( \{ a_n \} \) は次の関係式 1，2 を満たしている。
- \( a_1 = 1 \)
- \( a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_{n+1} = 2( a_1a_n + a_2a_{n-1} + \cdots + a_na_1 ) （n ≧ 1 ） \)
この数列の第 \( n \) 項を求めよ。
問題２
\( a, b, c \) は自然数であり、
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2} \]
を満たすものとする。このような \( a, b, c \) の組はいくるあるか。
問題３
\( x, y, z, w \) を正の数とする。任意の正の整数 \( m, n \) に対して、
\[ \Big\{ x^\frac{1}{m} + y^\frac{1}{m} \Big\}^n + \Big\{ z^\frac{1}{m} + w^\frac{1}{m} \Big\}^n = \Big\{ \Big( x^\frac{n}{m} + z^\frac{n}{m} \Big)^\frac{1}{n} + \Big( y^\frac{n}{m} + w^\frac{n}{m} \Big)^\frac{1}{n} \Big\}^n \]
が成り立つための必要十分条件を求めよ。
問題
次の等式が\( x \)についての恒等式であるとき、定数\( a \)，\( b \)，\( c \)の値を求めよ。
\[ \frac{x^2-6}{(x+1)(x-1)^2} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{(x-1)^2} \]
問題４
次のように定義された数列 \( \{ a_n \} \) の一般項を求めよ。
\[ a_1 =2, a_{n+1} = 2a_n + n \]
問題５
3次関数 \( y = x^3 – 3mx^2 + 2m^2x \) が \( m ≧ 0 \) の範囲で変化するとき、この3次関数のグラフが通過する範囲を図示せよ。
問題６
7個の数字 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6 を1列に並べる並べ方は何通りか。また、その中で奇数が必ず奇数番目にある並べ方は何通りか。
問題７
立方体の6つの面に、青、白、赤、黄、紫、緑の6色を1面ずつ塗るとする。異なる塗り方は何通りあるか。
問題８
\( n \)を正の整数とする。次の等式が成り立つことを証明せよ。
- \( _n\mathrm{C}_k = _{n-1}\mathrm{C}_{k-1} + _{n-1}\mathrm{C}_k \) （ただし、\( n ≧ 2 , 1 ≧ k ≧ n \)）
- \( \displaystyle\sum_{k=0}^n{_n\mathrm{C}_k} = 2^n \)
- \( \displaystyle\sum_{k=0}^n{k_n\mathrm{C}_k} = n・2^{n-1} \)
- \( \displaystyle\sum_{k=0}^n{_n\mathrm{C}_k}^2 = _{2n}\mathrm{C}_n \)
問題
赤球4個、白球2個、黒球1個を用いて何通りのじゅずができますか。
問題
12冊の異なる本を次のように分ける方法は何通りありますか。
- 5冊、4冊、3冊の3組に分ける
- 4冊ずつ3人に分ける
- 4冊ずつ3組に分ける
- 8冊、2冊、2冊の3組に分ける
問題
\( xy \) 平面において、放物線 \( y = x^2 \) と直線 \( y = x \) によって囲まれた図形を直線 \( y = x \) のまわりに回転させてできる回転体の体積を求めよ。
問題
次の各問いに答えよ。
- \( 385x + 98y = 21 \)を満たす整数の組 \( ( x, y ) \) をすべて求めよ。
- 1次方程式 \( 385x + 98y = c \) に整数解\( ( x, y ) \) が存在するための、文字 \( c \) についての必要十分条件を求めよ。
ω
1の3乗根のうち、虚数であるものの1つを \( \omega \) とする。このとき、\( \omega^{2n} + \omega^n + 1 \)（ただし、\( n \) は自然数）の値を求めよ。