数
問題
\( 2,\dot{3}7\dot{5} \)を分数に直しなさい。
分母の有理化
\( \displaystyle\frac{\sqrt{5} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{5} – \sqrt{2}} の分母を有理化しなさい。 \)
方程式・不等式
不等式の解き方
\( x \) についての不等式 \( 7x + 5 > 12x + 20 \) を解きなさい。
不等式の解き方
\( a，b \) を定数とするとき、不等式 \( ax + b > 0 \) を解け。
絶対値
\( |\;3\; | + |\;-8\;| \) を計算しなさい。
因数分解；和と差の積
\( 100x^2 – 144y^2 \) を因数分解しなさい。
因数分解；たすき掛け
次の式を因数分解しなさい。
- \( x^2 + 11x + 28 \)
- \( 4x^2 – 21x – 18 \)
二次方程式の解法
次の二次方程式を解け。
- \( 20x^2 + 7x – 3 = 0 \)
- \( x^2 – 12x + 36 = 0 \)
- \( 5x^2 – 5x + 1 = 0 \)
解の公式、平方完成の利用
次の二次方程式 \( 5x^2 – 5x + 1 = 0 \) を、2通りの方法で解け。
判別式
\( 2x^2 + mx + 1 = 0 \) が異なる2つの実数解をもつとき、\( m \) の取り得る値の範囲を求めなさい。
関数
定義域・値域
一次関数 \( y = 2x – 3 \) の定義域が \( 1 ≦ x < 3 \) であるときの値域を求めなさい。
そのグラフが次の条件を満たす二次関数を求めよ。
二次関数のグラフ
- 3点 \( ( 0，2 )，( -2，16 )，( 1，4 ) \) を通る。
- 頂点が点 \( ( 1，-3 ) \) で、点 \( ( 4，6 ) \) を通る。
- \( x \) 軸と2点 \( ( 1，0 )，( 3，0 ) \) で交わり、点 \( ( 4，3 ) \) を通る。
- \( x = -1 \) を軸とする放物線で、2点 \( ( 2，-15 )，( -1，3 ) \) を通る。
グラフの交点
放物線 \( y = x^2 -2x -1 \cdots ① \) と直線 \( y = x – 1 \cdots ② \) の交点の座標を求め、放物線①、直線②のグラフも含め図示しなさい。
放物線と直線が1点で交わる
\( y = 2x^2 + 2 \) と \( y = kx \) が 1 点で接するように、\( k \) の値を求めよ。
グラフの平行移動
放物線 \( y = 2x^2 \) を、\( x \) 軸方向に \( -4 \) 、\( y \) 軸方向に \( 3 \)だけ平行移動させた放物線の方程式を求めよ。
放物線の描き方
放物線 \( y = x^2 + 6x +10 \) のグラフを描きなさい。
グラフの線対称・点対称
放物線 \( y = x^2 -6x + 7 \) を \( x \) 軸，\( y \) 軸に関して線対称移動した放物線、および原点に関して点対称移動した放物線の方程式を求めなさい。
最大・最小
\( x^2 – 6x + 7 \)の最小値を求めよ。
\( y = x^2 – 8x + 7 \)の最小値を求めよ。
\( y = -x^2 + 2x + 5 \)の最大値を求めよ。
最大・最小（定義域が設定されている場合）
\( -4 ≦ x ≦ 0 \) のとき、\( y = x^2 + 6x + 13 \) の最大値、最小値を求めなさい。
\( 1 ≦ x ≦ 6 \) のとき、\( y = -x^2 + 6x + 7 \) の最大値、最小値を求めなさい。
\( -1 < x < 6 \) のとき、\( y = x^2 – 4x \) の最大値、最小値を求めなさい。
放物線と \( x \) 軸との交点
二次関数 \( y = x^2 – 6x + 4 \) と \( x \) 軸との共有点を求めよ。
二次関数 \( y = x^2 – 3x + m \) と \( x \) 軸と異なる2点で交わるように、\( m \) の範囲を求めなさい。
二次関数 \( y = x^2 + 8x + m \) と \( x \) 軸と1点で交わるように、\( m \) の範囲を求めなさい。
二次関数 \( y = x^2 + 2x + m \) と \( x \) 軸と共有点をもたないように、\( m \) の範囲を求めなさい。
二次不等式
二次不等式の解き方
二次不等式 \( x^2 – 3x -10 ≧ 0 \) を解け。
二次不等式の解き方
二次不等式 \( x^2 + 2x – 3 < 0 \) を解け。
二次不等式の解き方（解の公式）
二次不等式 \( -2x^2 + 3x + 1 ≦ 0 \) を解け。
二次不等式の解き方
二次不等式 \( x^2 – 4x + 4 ≧ 0 \) を解け。
二次不等式の解き方
二次不等式 \( x^2 – 3x + 10 ≦ 0 \) を解け。
二次不等式の解き方
\( x^2 + mx + 4 > 0 \) が、すべての実数 \( x \) で成り立つように、\( m \) の値を求めよ。
問題 因数定理
\( x \) についての方程式 \( x^3 – 3x^2 + x + 1 = 0 \) を解け。
命題
次の条件の否定を述べよ。ただし、\( a \)、\( b \) は実数とする。
- \( a \)、\( b \) はともに負の数である。
- \( a = 0 \) または \( b \neq 0 \)
次の命題とその否定の真偽を調べよ。
- すべての実数 \( x，y \) について \( x^2 – 6xy + 9y^2 > 0 \)
- ある実数 \( x \) について \( x^2 – 2x + 3 > 3 \)
必要条件・十分条件
\( x，y \) は実数とする。\( \{ \} \) に最も適するものを、(a)～(d)の中から選べ。
- \( x > y \) は、\( x^2 > y^2 \) であるための\( \{ \} \)。
- \( x^2 > y^2 \) は、\( x^4 > y^4 \) であるための\( \{ \} \)。
- \( x + y > 2 \) は、\( x > 1 \) または \( y > 1 \) であるための\( \{ \} \)。
(a) 必要条件である
(b) 十分条件である
(c) 必要十分条件である
(d) 必要条件でも十分条件でもない
問題 ベン図の利用
1000以下の自然数について、次の数の個数を求めよ。
- 4でも6でも割り切れる数
- 4または6で割り切れる数
- 4でも6でも割り切れない数
- 4で割り切れないが、6で割り切れる数
問題 個数の処理と確率
男子4人、女子3人がいる。次の並び方は何取りあるか。
- 男子4人が皆隣り合うように7人が1列に並ぶ。
- どの2人の女子も隣り合わないように7人が1列に並ぶ
- 女子の両隣には男子が来るように7人が円周上に並ぶ
問題
2次関数 \( y = x^2 + ax + b \) のグラフを \( y \) 軸方向に2だけ平行移動した後、\( y \) 軸に関して対称移動させ、更に \( x \) 軸方向に \( -3 \) だけ平行移動したところ、\( y = x^2 \) のグラフと一致した。このとき、定数 \( a, b \) の値を求めよ。
問題
男10人、女10人の中からが男3人、女2人を選ぶ選び方は何通りあるか。
二次方程式の解の配置
二次方程式 \( x^2 – 2(3m – 1)x + 9m^2 – 8 = 0 \) が次の条件を満たすような定数 \( m \) の値の範囲をそれぞれ求めよ。
- 異なる2つの正の解をもつ。
- 一方の解は正、他の解が負である。
因数定理；組み立て除法
4次方程式 \( x^4 – 4x^2 – 12x – 9 = 0 \) を解け。