数学 – 礎 –

目次

問題

 \( 2,\dot{3}7\dot{5} \)を分数に直しなさい。

分母の有理化

 \( \displaystyle\frac{\sqrt{5} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{5} – \sqrt{2}} の分母を有理化しなさい。 \)

方程式・不等式

不等式の解き方

 \( x \) についての不等式 \( 7x + 5 > 12x + 20 \) を解きなさい。

不等式の解き方

 \( a,b \) を定数とするとき、不等式 \( ax + b > 0 \) を解け。

絶対値

 \( |\;3\; | + |\;-8\;| \) を計算しなさい。

因数分解;和と差の積

 \( 100x^2 – 144y^2 \) を因数分解しなさい。

因数分解;たすき掛け

 次の式を因数分解しなさい。

  1.  \( x^2 + 11x + 28 \)
  2.  \( 4x^2 – 21x – 18 \)

二次方程式の解法

 次の二次方程式を解け。

  1.  \( 20x^2 + 7x – 3 = 0 \)
  2.  \( x^2 – 12x + 36 = 0 \) 
  3.  \( 5x^2 – 5x + 1 = 0 \)

解の公式、平方完成の利用

 次の二次方程式 \( 5x^2 – 5x + 1 = 0 \) を、2通りの方法で解け。

判別式

 \( 2x^2 + mx + 1 = 0 \) が異なる2つの実数解をもつとき、\( m \) の取り得る値の範囲を求めなさい。

関数

定義域・値域

 一次関数 \( y = 2x – 3 \) の定義域が \( 1 ≦ x < 3 \) であるときの値域を求めなさい。

 そのグラフが次の条件を満たす二次関数を求めよ。

二次関数のグラフ

  1.  3点 \( ( 0,2 ),( -2,16 ),( 1,4 ) \) を通る。
  2.  頂点が点 \( ( 1,-3 ) \) で、点 \( ( 4,6 ) \) を通る。
  3.  \( x \) 軸と2点 \( ( 1,0 ),( 3,0 ) \) で交わり、点 \( ( 4,3 ) \) を通る。
  4.  \( x = -1 \) を軸とする放物線で、2点 \( ( 2,-15 ),( -1,3 ) \) を通る。

グラフの交点

 放物線 \( y = x^2 -2x -1 \cdots ① \) と直線 \( y = x – 1 \cdots ② \) の交点の座標を求め、放物線①、直線②のグラフも含め図示しなさい。

放物線と直線が1点で交わる

 \( y = 2x^2 + 2 \) と \( y = kx \) が 1 点で接するように、\( k \) の値を求めよ。

グラフの平行移動

 放物線 \( y = 2x^2 \) を、\( x \) 軸方向に \( -4 \) 、\( y \) 軸方向に \( 3 \)だけ平行移動させた放物線の方程式を求めよ。

放物線の描き方

 放物線 \( y = x^2 + 6x +10 \) のグラフを描きなさい。

グラフの線対称・点対称

 放物線 \( y = x^2 -6x + 7 \) を \( x \) 軸,\( y \) 軸に関して線対称移動した放物線、および原点に関して点対称移動した放物線の方程式を求めなさい。

最大・最小

 \( x^2 – 6x + 7 \)の最小値を求めよ。

 \( y = x^2 – 8x + 7 \)の最小値を求めよ。

 \( y = -x^2 + 2x + 5 \)の最大値を求めよ。

最大・最小(定義域が設定されている場合)

 \( -4 ≦ x ≦ 0 \) のとき、\( y = x^2 + 6x + 13 \) の最大値、最小値を求めなさい。

 \( 1 ≦ x ≦ 6 \) のとき、\( y = -x^2 + 6x + 7 \) の最大値、最小値を求めなさい。

 \( -1 < x < 6 \) のとき、\( y = x^2 – 4x \) の最大値、最小値を求めなさい。

放物線と \( x \) 軸との交点

 二次関数 \( y = x^2 – 6x + 4 \) と \( x \) 軸との共有点を求めよ。

 二次関数 \( y = x^2 – 3x + m \) と \( x \) 軸と異なる2点で交わるように、\( m \) の範囲を求めなさい。

 二次関数 \( y = x^2 + 8x + m \) と \( x \) 軸と1点で交わるように、\( m \) の範囲を求めなさい。

 二次関数 \( y = x^2 + 2x + m \) と \( x \) 軸と共有点をもたないように、\( m \) の範囲を求めなさい。

二次不等式

二次不等式の解き方

 二次不等式 \( x^2 – 3x -10 ≧ 0 \) を解け。

二次不等式の解き方

 二次不等式 \( x^2 + 2x – 3 < 0 \) を解け。

二次不等式の解き方(解の公式)

 二次不等式 \( -2x^2 + 3x + 1 ≦ 0 \) を解け。

二次不等式の解き方

 二次不等式 \( x^2 – 4x + 4 ≧ 0 \) を解け。

二次不等式の解き方

 二次不等式 \( x^2 – 3x + 10 ≦ 0 \) を解け。

二次不等式の解き方

 \( x^2 + mx + 4 > 0 \) が、すべての実数 \( x \) で成り立つように、\( m \) の値を求めよ。

問題 因数定理

 \( x \) についての方程式 \( x^3 – 3x^2 + x + 1 = 0 \) を解け。

命題

 次の条件の否定を述べよ。ただし、\( a \)、\( b \) は実数とする。

  • \( a \)、\( b \) はともに負の数である。
  • \( a = 0 \) または \( b \neq 0 \)

 次の命題とその否定の真偽を調べよ。

  • すべての実数 \( x,y \) について \( x^2 – 6xy + 9y^2 > 0 \)
  • ある実数 \( x \) について \( x^2 – 2x + 3 > 3 \)

必要条件・十分条件

 \( x,y \) は実数とする。\( \{   \} \) に最も適するものを、(a)~(d)の中から選べ。

  • \( x > y \) は、\( x^2 > y^2 \) であるための\( \{   \} \)。
  • \( x^2 > y^2 \) は、\( x^4 > y^4 \) であるための\( \{   \} \)。
  • \( x + y > 2 \) は、\( x > 1 \) または \( y > 1 \) であるための\( \{   \} \)。

(a) 必要条件である
(b) 十分条件である
(c) 必要十分条件である
(d) 必要条件でも十分条件でもない

問題 ベン図の利用

 1000以下の自然数について、次の数の個数を求めよ。

  1. 4でも6でも割り切れる数
  2. 4または6で割り切れる数
  3. 4でも6でも割り切れない数
  4. 4で割り切れないが、6で割り切れる数

問題 個数の処理と確率

 男子4人、女子3人がいる。次の並び方は何取りあるか。

  1. 男子4人が皆隣り合うように7人が1列に並ぶ。
  2. どの2人の女子も隣り合わないように7人が1列に並ぶ
  3. 女子の両隣には男子が来るように7人が円周上に並ぶ

問題

 2次関数 \( y = x^2 + ax + b \) のグラフを \( y \) 軸方向に2だけ平行移動した後、\( y \) 軸に関して対称移動させ、更に \( x \) 軸方向に \( -3 \) だけ平行移動したところ、\( y = x^2 \) のグラフと一致した。このとき、定数 \( a, b \) の値を求めよ。

問題

男10人、女10人の中からが男3人、女2人を選ぶ選び方は何通りあるか。

二次方程式の解の配置

 二次方程式 \( x^2 – 2(3m – 1)x + 9m^2 – 8 = 0 \) が次の条件を満たすような定数 \( m \) の値の範囲をそれぞれ求めよ。

  1. 異なる2つの正の解をもつ。
  2. 一方の解は正、他の解が負である。

因数定理;組み立て除法

 4次方程式 \( x^4 – 4x^2 – 12x – 9 = 0 \) を解け。

目次